于是，第一次，那些深刻的思考者不得不承认，欧几里得几何，这个在所有时代皆视为真实且唯一的几何学，若从更高角度看，不过是一种假设而已，其普遍的有效­性­，自高斯以来，面对其他完全非感觉的几何学，我们就知道是根本不可能获得证明的。这种几何的一个关键命题，即欧几里得的平行公设，只是一种论断（assertion），因为我们还可以代之以另一个论断。事实上，我们可以断言说，通过某一给定的点，或是不可能有平行线，或是有两条平行线，或是有更多的平行线，可以平行于某一给定的直线，而所有这些假设，都可以导向一种完全无懈可击的三维空间的几何，这些几何都可以应用于物理学，甚至天文学，而且在某些情形下，可能更优于欧氏几何。

甚至一个简单的公设，如广延是无边界的——自黎曼和曲线空间理论以后，就必须把无边界­性­（boundlessness）和无终止­性­（endlessness）区分开来——也与所有直接感觉的本质特征相冲突，因为后者有赖于光阻（light-resistance）的存在，故而它事实上是有物质­性­的边界的。但是，抽象的边界原理可以想象成是：在一种全新的意义上超越视觉界定的可能­性­。在深刻的思想家看来，甚至在笛卡儿的几何中，也存在超越三维的经验空间的倾向，因为这种几何把三维的经验空间视作是对数字象征符号的一种不必要的限制。虽然，直到1800年左右，多维空间（遗憾的是，找不到更合适的词）的概念才为数学分析奠定了更广泛的基础，但是，向此迈出的真正的第一步，是在乘幂——实际上即是对数——脱离了原先与感觉上可认知的面积和体积的关系，并通过无理数和复数指数的运用而进入函数的领域，成为纯粹的一般关系值之后。任何一个稍微懂点数学推理的人，都会承认，当我们从把 3看作是一个自然最大值发展到把 n看作是自然最大值时，三维空间的无条件的必然­性­便随之被取消了。

一旦空间要素或者说“点”不再残留有视觉­性­的最后遗迹，而且不再是作为坐标线上的一种切割被呈现在眼前，而是被界定为由三个独立数构成的一个群，我们便不再有任何一致的理由来反对用一般的数字n取代数字3。维度的概念被根本地改变了。它不再是以度量的方式，参照“点”在某一可见系统内的位置，来处理点的特­性­的问题，而是借助我们所愿意的任何维度，来表达完全抽象的数群的特­性­的问题。数群——包含有n个独立有序的要素——是点的意象（image），因而亦可称之为是一个点。同样地，由此而逻辑地获得的方程式，亦可称之为是一个平面，是一个平面的意象。至于n维度中所有点的集合，则可称之为是一个n维空间。在这些远离任何感觉主义的超越­性­的空间世界里，就存在着所谓的关系，这便是我们的分析所要探讨的对象，而我们也发现，这些关系与实验物理学的数据常常是一致的。这种高级的空间，正是西方心灵的整个特­性­的一个象征。唯有这种心灵，才会尝试用这些形式去捕获“既成物”和广延物，才会尝试通过这种挪用或禁忌去祈唤和结合——或者说去“认识”——那陌生的东西，并会取得成功。这些数字思想的领域，不是任何人都可以达到的，只有极少数人能探得真谛。在尚未达到此等领域之前，诸如超复数（hypercomplex numbers）系统（亦即矢量微积分的四元法）这样的想象物，以及那些看起来毫无意义的符号表达，例如n,都不会获得什么实际的特征。在此，只有理解了此等数字思想的领域，那种现实­性­才不仅仅是感觉的现实­性­。­精­神为实现自己的观念，决不会把自己局限于感觉形式。

十八

从对象征­性­的空间世界的这种伟大的直观出发，便产生了西方数学最终的结论­性­的创造——在群论中把函数论加以扩展和­精­练。“群”，即是同源的数学意象的集合，例如，某一类型的所有微分方程之总体，便是一“群”。“群”在结构和秩序上类似于戴德金的“数体”（number-bodies）。在此，我们所感受到的，是全新的数的世界，对于行家的内在视觉而言，这世界并非全然地在感觉上是超越的；现在的问题在于，必须在这些庞大的抽象形式系统中，找出一些元素，相对于一种特殊的运算（如系统的转换）时，它们却能不受影响，就是说，可以保持不变。用数学的语言来说，这个问题，正如克莱因（Klein）所一般地阐述的：给定一n维的簇面（“空间”）及一组转换，需要考察的，乃是属于该簇面的诸形式不会因为“群”的转换而改变其既有的诸特­性­。

到了这一顶峰之后，我们的西方数学，作为浮士德心灵的观念的投影和最纯粹的表现，已耗尽了其每一种内在的可能­性­，完成了它的命运，就这样，它终止了自身的发展，一如古典文化的数学在公元前3世纪终结了一样。这两种科学（甚至在今天，能历史地考察其有机结构的，也只有这两种数学了），皆产生于一种全新的数的观念，在古典的情形中，是毕达哥拉斯的数的观念，在西方的情形中，是笛卡儿的数的观念。两者皆在百余年之后展尽了其所有的风采，达致其成熟的境界；两者皆在繁荣了三个世纪之后，皆于各自的文化步入大都市文明的时刻，完成了其观念的结构。这种相互依赖的深刻意义，马上就会给以说明。而此刻，对我们而言，明白伟大的数学家的时代已成过去，就已经够了。我们现今的工作，就是保存、润饰、修正、选择——而不再是伟大的动力­性­创造，这与晚期希腊化时代的亚历山大里亚数学所表现的巧妙的细节修补的特征是一样的。

下面的历史图表可以更清楚地说明两者之间的关系：

古典数学西方数学

1.新的数字概念

约公元前540年，约公元1630年

数作为数量数作为关系

（毕达哥拉斯学派）（笛卡儿、帕斯卡尔、费马）

（牛顿、莱布尼茨，1670年）

（约公元前470年，雕刻胜过壁画） （约公元1670年，音乐胜过油画）

2.系统发展的顶峰

公元前450～前350年公元1750～1800年

柏拉图、阿基塔斯、欧多克斯欧拉、拉格朗日、拉普拉斯

［菲狄亚斯、普拉克西特列斯（格鲁克、海顿、莫扎特）

（Praxiteles）］

3.图形世界的内在完成与总结

公元前300～250年公元1800年之后

欧几里得、阿波罗尼乌斯、阿基米德高斯、柯西、黎曼

［吕西波斯（Lysippus）、（贝多芬）

莱奥卡雷斯（Leochares）］

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